Análise Combinatória 8: como diferenciar arranjo de combinação

Dica:

A maior dificuldade encontrada em muitos exercícios de análise combinatória é diferenciar um arranjo de uma combinação.
O esquema apresentado a seguir é um artifício que pode ser utilizado para facilitar a identificação do tipo de problema. Existem casos em que esse esquema não se enquadra, sendo que os mesmos deverão ser analisados de forma mais cuidadosa.

Vejamos agora como utilizar esse esquema:

Ex) Dentre 9 livros diferentes que estão numa livraria. Fátima pretende escolher 5 para comprar. Dos 5 livros que escolher, 3 serão dados de presente para 5 amigas: Ana, Paula e Gabi.

a) De quantos modos diferentes Fátima pode comprar os 5 livros?

Primeiro: identifique n - note que temos 9 livros para serem escolhidos, logo n = 9.

Segundo: indentifique p - como vamos escolher 5 livros para comprar temos p = 5.

Terceiro: compare n com p - como p < n temos duas opções: arranjo ou combinação (note que quando p = n temos uma permutação).

Quarto: agora vamos descobrir se é arranjo ou combinação. Primeiro devemos supor um resultado, logo vamos imaginar que Fátima escolha os livros A, B, C, D, E para comprar.

Após supor a solução devemos inverter a mesma, ou seja E, D, C, B, A..

Note que quando invertemos a solução suposta não alteramos a resposta final do nosso problema, já que se pensarmos na idéia da compra, Fátima tanto na resposta inicialmente suposta como na opção em que invertemos a ordem compraria os mesmos livros.

Dessa forma construímos um grupo AB (uma solução) e invertemos a ordem, e como concluímos que AB = BA estamos diante de um problema envolvendo combinação.

Quinto: agora vamos para a resolução:

C9 5 = __9!    = 9.8.7.6.5!= 3024=126

          5!.(9-5)!     5!.4!         24

b) Uma vez escolhidos os 5 livros, de quantos modos diferentes ela pode presentear as amigas?

Primeiro: identifique n - note que temos 5 livros para serem presenteados, n = 5.

Segundo: indentifique p - como 3 livros serão dados de presente temos p = 3.

Terceiro: compare n com p - como p < n temos duas opções: arranjo ou combinação.

Quarto: agora vamos descobrir se é arranjo ou combinação. Primeiro devemos supor um resultado, logo vamos imaginar que Fátima dê o livro A para Ana, o livro B para a Paula e o livro C para a Gabi.
Agora vamos inverter a solução suposta, dessa forma vamos imaginar que a Gabi vai ganhar o livro A, Paula vai ganhar o livro B e a Ana vai ganhar o livro C.
Note que quando invertemos a solução suposta alteramos o resultado final do problema, já que há diferença entre a Ana ganhar o livro A e ela ganhar o livro C.
Dessa forma construímos um grupo AB (uma solução) e invertemos a ordem, e como concluímos que AB é diferente de BA, estamos diante de um problema envolvendo arranjo.
Quinto: agora vamos para a resolução:
A 5 3 =_5!_ = 5.4.3.2! = 5.4.3 = 60
          (5-3)!      2!